みなさん、こんにちは、
みむすたーです。
今日は、高速に分散を計算する方法について、説明します。
それではいきましょう。
分散の計算式
以前、私が投稿した記事の中でも紹介しましたが、分散の式は以下の通りです。
\[V=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}(x_k-μ)^2\]
分散の計算式の簡略化
上記の式だと手で計算するとき、
偏差の二乗を計算し、合計を計算するのは大変です。
そのため、上記の計算式を簡略化しましょう。
\[V=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}(x_k-μ)^2\]
まずは、シグマ内の二乗を展開します。
\[V=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}(x_k^2-2x_k μ + μ^2)\]
$μ^2$は定数と捉えることができるため、シグマの中から取り出します。
\[V=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}(x_k^2-2x_k μ)+ μ^2\]
$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}(-2x_k μ)$ は、
よく見ると、$-2μ$を取り外すことで、
$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}(x_k)$という平均の式が現れます。
そのため、$-2μ^2$に置き換えることができます。
よって、
\[V=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}(x_k^2) – 2μ^2+ μ^2\]
となり、$μ^2$の部分を足し合わせて、
\[V=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}(x_k^2) – μ^2\]
と表せます。
この式を簡単に説明すると、
分散(V) = 二乗の平均 – 平均の二乗という形になります。
この計算式を使うことで、手での計算でも簡単に分散の値を求めることができます。
コメント